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"El mundo está escaso de genios... Einstein murió, Mozart también y a mí, me duele la cabeza."
- Anónimo -
El mejor ECAES de Antioquia
En noviembre pasado, al día siguiente del concierto de Soda Stereo al que asistí con algunos amigos tuve...
En noviembre pasado, al día siguiente del concierto de Soda Stereo al que asistí con algunos amigos tuve...
última noticia: 14.02.2008
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Problemas matemáticos
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Las estrellas indican el nivel de dificultad de los problemas
1.  Dibujar un rectángulo (similar a la figura) de proporciones tales que el borde (de una casilla de ancho) contenga igual número de cuadros que el rectángulo blanco interior. Hallar TODAS las soluciones.
2. Un granjero gasta 100 dólares en comprar 100 animales de tres clases. Cada vaca costó 10
dólares, cada cerdo, 3, y cada oveja, medio dólar. Suponiendo que haya comprado al menos una vaca, un cerdo y una oveja, ¿Cuántos animales de cada clase compró el granjero?3.  Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles es de longitud unidad. ¿Qué longitud debe tener el tercer lado para hacer máxima el área del triángulo?4. Demostrar si 1324n + 791n = 1961n
, siendo n un entero positivo mayor que 2, es posible para algún
valor de n.5.  Situar 4 reinas de ajedrez, que puedan
moverse incluso como los caballos, en un tablero de 5x5 sin que
ninguna amenace a las demás. Situar 10 en un tablero de 10x10.6.  ABCD es un número de 4 cifras consecutivas en orden
creciente; DCBA consta de las mismas cifras en orden retrógrado.
Los cuatro asteriscos (*) son las mismas cuatro cifras en otro
orden. La suma de los 3 es 12300. ¿Qué número expresan los * ?A B C D + D C B A * * * * ---------- 1 2 3 0 0 7. En España las fechas como 6 de dic. de 1977 se
escriben 6/12/77 y en EEUU se escribe 12/6/77. Si se desconoce
qué sistema fue utilizado, ¿Cuántas fechas quedarían
indeterminadas?8. Cuántos números de diez cifras pueden
escribirse usando obligatoriamente los 10 dígitos? No son
válidos con el 0 a la izquierda.9. En una circunferencia pueden inscribirse
y circunscribirse hexágonos regulares. Si el área del inscrito
es 3 unidades de superficie, ¿Qué área tiene el hexágono
mayor?
10. Hay una laguna circular de 300m de
diámetro, con un islote en el centro. Los dos puntos negros son
árboles. Una persona, que no sabe nadar, necesita llegar al
islote; dispone de una cuerda de algo más de 300m de largo.
¿Cómo puede arreglárselas?
11. Seis jugadores, A, B, C, D, E y F toman
asiento en torno a una mesa circular dividida en seis sectores
iguales. En el centro de la mesa hay un disco, montado sobre un
alfiler, alrededor del cual puede girar libremente. El disco esta
rotulado con cifras.Se hace girar la rueda 5 veces. Cada vez, al detenerse, los jugadores puntúan el número que apunta a su sector. El que puntualice el máximo de puntos tras 5 lanzamientos es el ganador. En la ilustración está el resultado del primer lanzamiento. C toma la delantera con 5 puntos. Tras el segundo ensayo, es D quien se sitúa a la cabeza. Efectuado el 5to lanzamiento, A es el vencedor. ¿Cuál es la puntuación final de cada jugador?
12. 2 personas pelaron 400 papas; una de
ellas pelaba 3 por minuto, la otra, 2. La segunda trabajo 25
minutos más que la primera. ¿Cuánto trabajó cada una?13. En un almacén había una báscula,
pero no podía pesar entre 50 y 100 Kg. El gerente debía pesar 5
sacos de harina, entre 50 y 60 Kg. cada uno. Él formó 10 pares
distintos de sacos y los pesó, con estos resultados:110Kg, 112Kg, 113Kg, 114Kg, 115Kg, 116Kg, 117Kg, 118Kg, 120Kg, 121Kg. ¿cuánto pesa cada saco? 14. En un almacén había 6 barriles de
cerveza, con 15, 16, 18, 19, 20 y 31 Litros respectivamente. Una
persona compró dos barriles, y otra, 3. El primero compró dos
veces menos cerveza que el segundo. ¿Cuál barril quedó en el
almacén?15.  Un objeto pesa 89,4 g, calcule cuántas
toneladas pesaría un millón de estos objetos.16. Un tronco redondo pesa 30 Kg. ¿Cuánto
pesaría si fuera el doble de grueso y la mitad de largo?17. En una balanza, tres cubos y una concha
se equilibran con 12 bolitas. Una concha se equilibra con 8
bolitas y un cubo. ¿Con cuántas bolitas se equilibra la concha?18. Ayer se cuadraron las horas de un reloj
y un despertador. El reloj se atrasa 2 minutos por hora, y el
despertador se adelanta 1 minuto por hora. Hoy se pararon los dos
relojes. El reloj marcaba las 7 y el despertador marcaba las 8.
¿A qué hora se cuadraron los relojes ayer?19. Se tienen 10 cajas con 100 balines cada
una. 9 de ellas tienen balines de 100 g, y la otra tiene balines
de 99 g. ¿Cómo se hace para saber cuál es la que tiene los
balines más livianos, usando una báscula sólo una vez?20. Qué año del siglo antepasado (1800's)
aumenta 41/2 veces si se mira su imagen en
el espejo?21. Halle un número de dos cifras que si
se divide por la suma de sus cifras, el resultado es la misma
suma de sus cifras.22. Para llenar de agua una piscina hay
tres surtidores. El primer surtidor tarda 30 horas en llenarla,
el segundo tarda 40 horas y el tercero tarda cinco días. Si los
tres surtidores se conectan juntos, ¿cuanto tiempo tardará la
piscina en llenarse?.23. María tiene un hermano llamado Juan.
Juan tiene tantos hermanos como hermanas. María tiene el doble
de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos chicos y chicas hay en la
familia? 24. Un vagabundo se hace un pitillo con
cada siete colillas que encuentra en el suelo. Cuantos pitillos
podrá fumarse si encuentra 49 colillas?25. Juan le dice a dice a Pedro: "si
me das una oveja tengo yo el doble que tu" Pedro le
contesta: " no seas tan listo, dámela tu a mi, y a si
tenemos los dos igual" ¿Cuántas ovejas tiene cada uno?.26. Un tío le dice a su sobrino: " Yo
tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la
edad que tú tienes. Cuando tú tengas la edad que yo tengo
ahora, la suma de las dos edades será de 70 años". ¿Qué
edad tienen ahora ambos? 27. Dos amigos se encuentran por la calle:
el primero le pregunta al otro - qué tal están sus hijas y
cuantos años tienen, el segundo le contesta: - El producto de
las tres edades es 36 y la suma el número del portal en el que
vives, el primero le dice: - entonces, me falta un dato, y el
amigo le contesta - es cierto, la mayor toca el piano. ¿Cual es
la edad de cada hija?28. Un comerciante decide vender una
colección de monedas de oro a tres coleccionistas. El primero
compra la mitad de la colección y media moneda; el segundo, la
mitad de lo que queda y media moneda y el tercero la mitad de lo
que queda y media moneda. ¿Cuantas monedas tenia el comerciante?29. Cierto individuo ordenó
telefónicamente un tramo de cordel de X pies y Y pulgadas, y
descubrió que el dependiente se había equivocado con la orden y
había intercambiado pies y pulgadas. Como resultado, la cuerda
media sólo 30% del tramo que el cliente deseaba. ¿De qué
longitud era la cuerda ordenada?30. Una bolsa contiene 27 bolas de billar
que parecen idénticas. Sin embargo, nos han asegurado que hay
una defectuosa que pesa más que las otras. Disponemos de una
balanza, pero no de un juego de pesas, de manera que lo único
que podemos hacer es comparar pesos. Demuestra que se puede
localizar la bola defectuosa con solo tres pesadas.31. Una araña teje su tela en el marco de
una ventana. Cada día duplica la superficie hecha hasta
entonces. De esta forma tarda 30 días en cubrir el hueco de la
ventana. Si en vez de una araña, fueran dos, ¿Cuánto
tardarían en cubrir dicho hueco?32. Buscando agua, una rana cayó en un pozo
de 30 m de hondo. En su intento de salir, la obstinada rana
conseguía subir 3 metros cada día, pero por la noche resbalaba
y bajaba dos metros. ¿Podrías decir cuántos días tardó la
rana en salir del pozo?33. Un lechero dispone únicamente de dos
jarras de 3 y 5 litros de capacidad para medir la leche que vende
a sus clientes. ¿Cómo podrá medir un litro sin desperdiciar la
leche?34. Un tendero dispone de una balanza y
cuatro pesas distintas, y estas pesas son tales que le permiten
pesar cualquier número exacto de kilogramos desde 1 a 40. ¿Qué
pesa cada una de las pesas?35. ¿Cual es el número de 3 cifras, que
cumple la condición de que el producto de dichas cifras es
igual a su suma?36. En un cajón hay 12 pares de calcetines
negros y doce pares blancos. No habiendo luz en la habitación,
usted quiere coger el mínimo número de calcetines que le
asegure que obtendrá al menos un par del mismo color. ¿Cuantos
calcetines deberá tomar del cajón?37. Se tiene un punto P situado a 35 m de un
segmento de recta, como se ilustra en la figura. El segmento
tiene extremos A, B y es tal que la perpendicular desde P hasta
AB toca dicho segmento en el punto medio, O. Si OA = 58m, hallar
el número total de segmentos de recta cuya longitud es un
número entero de metros, incluyendo OP, que unen a P con AB.
38. ¿Cuál es el número máximo de reyes
que se pueden colocar en un tablero de ajedrez de 40x40 de manera
que no haya 2 que se ataquen?39. Se tienen 2 rectas L1 y L2
perpendiculares entre sí. Se construyen cuadrados de lados 10 y
33 como se muestra en la figura. Si A es el punto de
intersección de PP1 con QQ1, hallar el
entero más cercano a la longitud de AQ1.
40. Sea 3, 4, a3, a4,
..., an una lista de números enteros tales que la
suma de los cuadrados de los primeros i términos 32 +
42 + a32+ ... + ai2
es un cuadrado perfecto para todo i. Hallar el valor de a4.41. Sea A el conjunto de todas las
soluciones de la ecuación
42. Sea ABCD un trapecio isósceles de
bases AB = 10cm y CD = 15cm. El lado AD es perpendicular a cada
base y mide 20cm. Sea P un punto sobre AD tal que los ángulos
APB y CPD son congruentes. Hallar el área del triángulo BPC.43. Hallar el número de arreglos de la
cadena 11223344 que no contienen dos dígitos consecutivos
iguales.44. Las áreas de superficie de 3 caras de
una caja rectangular son 3, 6 y 8 unidades cuadradas,
respectivamente. ¿Cuál es el volumen de la caja?45. Si | x - 2 | = p, donde x < 2,
entonces x - p = ?46. ¿Cuántos enteros positivos b tienen
la propiedad de que log b 729 es un entero positivo?47. Un tablero de ajedrez de 13 filas y 17
columnas tiene un número en cada casilla, comenzando en la
esquina superior izquierda, de tal modo que la primera fila está
numerada 1, 2, ..., 17, la segunda fila 18, 19, ..., 34, etc. Si
se vuelve a numerar las casillas de tal modo que la columna de la
izquierda se numera de arriba abajo 1, 2, ..., 13, la segunda
columna 14, 15, ..., 26, etc, en todas las columnas del tablero,
sucede que algunas casillas tienen el mismo número en ambos
sistemas. Hallar la suma de los números en dichas casillas. (en
cualquiera de los sistemas).48. Sean A, M, y C enteros no negativos
tales que A + M + C = 12. ¿Cuál es el valor máximo de A.M.C +
A.M + M.C + A.C?49. Un palo de 25cm se encuentra recostado
a una pared vertical de modo que el extremo inferior del palo se
encuentra a 20cm de la pared. Si el extremo inferior se desliza
hasta encontrarse a 24cm de la pared, ¿Cuál es la distancia que
el otro extremo del palo bajará por la pared?50. En un tablero de ajedrez se ponen 32
fichas de dominó, del tamaño de dos casillas del tablero, de
manera que quede totalmente cubierto. Ahora suponiendo que se
quitan 2 esquinas opuestas diagonalmente del tablero, ¿es
posible cubrirlo con 31 fichas? Demuestre.
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copyright © Juan David Jaramillo J.
Medellín, Colombia, 2005. Todos los derechos reservados.
Medellín, Colombia, 2005. Todos los derechos reservados.